Download Algebra VII - Combinatorial Group Theory, Applns to Geometry by A. Parshin,I. Shafarevich PDF

Show description

Satz 1. Für projektive Ebenen 11 1 und 11 2 über den assoziativen cartesischen Gruppen Cl = Cl(Ol> EI' Ul> VI) und C 2 = C 2 (02, E 2 , U2 , V2 ) gilt: Cl und C2 sind genau dann stark isotop, wenn es einen Isomorphismus cfo von 11 1 auf 11 2 gibt mit cfo( 0 1 ) = O2 , cfo( Ul ) = U2 , cfo( VI) = V2 und cfo(El ) E E 2 V2 • Beweis. (a) Sei (s, a) ein starker Isotopismus von Cl auf C 2 , dann wird durch (x, y) -+ (a(x), sa(y)) cfo: { (m) -+ (sa(m)) (00) -+ (00) 2 Ein Tripel (F, G, H) von bijektiven Abbildungen von C, auf C 2 heißt Isotopismus von C, auf C 2 , wenn für alle x, y E C, gilt H(x + y) = H(x) + H(y) und H(x·y) = F(x)· G(y).

Isomorphisms of Pickert-Moulton planes. Proc. Amer. Math. Soc. 19, 976-980 (1968). : Zur Klassifikation topologischer Ebenen. Math. Ann. 150, 226-241 (1963). [17] Spencer-Yaqub, J. C. : On the Lenz-Barlotti dassification of projective planes. Quart. J. Math. 11,241-257 (1960). [18] - - : On projective planes of dass III. Arch. Math. 12, 146-150 (1961). Universität Dortmund, Postfach 500 500, D-4600 Dortmund Über die Anzahl der Anordnungen eines kommutativen Körpers von LUDWIG BRöcKER 1. Bekanntlich gibt es zu jeder natürlichen Zahl m einen reellen algebraischen Zahlkörper K, der genau m Anordnungen zuläßt.

Aus (S2) folgt unmittelbar, daß cp ein additiver Homomorphismus von S ist. Zum Nachweis, daß stets cp(xy) = cp(x)cp(y) gilt, benötigen wir einige Vorüberlegungen. a(x) = -a( -x) denn 0 = sa(x + (- x» = sa(x) + sa( - "Ix ES; (*) x). x>O-=a(x»O; (**) denn x> 0 => a( -x) = a(x Oie (-1» = a(x) Oie' a( -1) ~ a(x) Oie' (-1) = -a(x), nur falls a(x) > O. (***) denn und k' 3 Unter = (-I)k'( -1) ~ a( -1) Oie' a( -1) = a« -1) 0/c (-1) = a(k). -1 ist im folgenden stets die Inversenbildung in S zu verstehen.