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By Garrett P.

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Rang von Matrizen In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Ergebnisse iiber den Rang einer Matrix sowie Kriterien fiir die Invertierbarkeit von Matrizen behandelt. Beisoiel: Zur Produktion einer Tonne eines Endprodukts PI werden 3 t des Rohstoffes R I , 2 t des Rohstoffes R2 und 7 t des Rohstoffes R3 benotigt. Die entsprechenden Zahlen fiir ein zweites Endprodukt P2 sind 4, 5 und 6. Diese Information wird in der folgenden Tabelle zusannnengefaflt: Rl 3 4 PI P2 Zu ihr gehort die Matrix A = (!

U r linear abhiingig sind. Beweis: Wenn V = UI'AI + .. ,+Ur'Ar, dannist 0 = v·(-l)+UI·AI + .. ,+Ur'Ar, und nicht alle Koeffizienten sind gleich O. Also sind v, U}, . . , U r linear abhiingig. Wenn umgekehrt 0 = V • I' + UI . Al + ... + U r • Ar und nicht alle Koeffizienten gleich o sind, dann ist I' ~ 0, denn sonst waren UI, ... , Ur linear abhiingig. Daher ist V = UI . (-Ad 1') + ... + Ur . (-A r / 1') eine Linearkombination der Vektoren Uj. 6: Sei U ein Unterraum von F". Dann gilt: (a) U hat eine Basis.

9. Matrizen Eingabe: A = (a i j) matmul [A, B) : , B = (b i j ) 1 mi, ni Spalten- bzw. Zeilenlange von A = 1 m2, n2 Spalten- bzw. Zeilenlange von B = 1 ai bi ,ami Zeilenvektoren von A ,··· ,b n2 Spaltenvektoren von B , ... ja Definition der mi x n2-1atrix C = (Cij) 1 B O 1 r _ mi ? ja B O 8 _ ? ja Crs = 8klprod [a r , bs ] 1 8 = 8+1 26 ---t ~ 9. 2: t x s-Matrix. Dann gilt: (A· B)· C = A· (B· C). Beweis: Nach der Definition des Produktes zweier Matrizen gilt: A· B = (aij)' (bjk) Cf: = j=l aij . bjk) t (l: bjk · CkP) k=l t n (A·B)·C n (l: aij .

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by Richard
4.2

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