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By Norman Earl Steenrod

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Konkret tritt dieser Fall bei der reduzierten kubischen Gleichung x 3 + px + q = 0 ein, wenn der Radikand der Quadratwurzel negativ ist: ( ) +( ) q 2 2 p 3 3 <0 Kann man aber mit solchen Quadratwurzeln aus negativen Zahlen weiterrechnen und dabei die richtigen Ergebnisse finden? Erste Schritte in dieser Richtung wagte Rafael Bombelli (1526-1572) in seinem 1572 erschienenen Buch L’Algebra. Dort löste er die Gleichung 14 Girolamo Cardano (siehe Fußnote 5), Chapter XXXVII, Rule II. 12 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen x 3 = 15x + 4 , wobei er mit dem Wurzelausdruck, den die Cardanische Formel für die Lösung liefert, mutig weiterrechnete: x = 3 2 + − 121 + 3 2 − − 121 = 3 2 + 11 − 1 + 3 2 − 11 − 1 Und schließlich fand er – das ihm bekannte Endergebnis x = 4 gewiss vor Augen – sogar Werte für die beiden kubischen Wurzeln.

Symbolisch notiert man dafür n ⎞ 2 ⎛ 1 ... ⎜ ⎟. ⎝ σ (1) σ ( 2 ) σ ( n )⎠ In speziellen Fällen kann es durchaus angebracht sein, die allgemeine Notation durch eine plakativere zu ersetzen. Wie werden dies bei den so genannten zyklischen Permutationen, die alle Zahlen von 1 bis n in irgendeiner Reihenfolge reihum vertauschen, praktizieren und beispielsweise 1 → 2 → 3 → 4 → 1 statt ⎛ 1 2 3 4⎞ ⎟ schreiben. ⎜ ⎝ 2 3 4 1⎠ 46 Die Suche nach weiteren Auflösungsformeln Eine wesentliche Eigenschaft von Permutationen besteht darin, dass man je zwei von ihnen hintereinander ausführen kann, wobei man wieder eine Permutation erhält.

Der Vollständigkeit halber ist dabei anzumerken, dass die Lösung der kubischen Resolvente z = z1 einer möglichen, aber keineswegs zwangsweise vorgegebenen Nummerierung der Lösungen x1, x2, x3 und x4 entspricht. Da Ferraris Verfahren aus einer Folge von Äquivalenzumformungen besteht, die im Hinblick auf den Wert z einzig auf der durch die kubische Resolvente vorgegebenen Bedingung beruht, führt die Auswahl einer anderen Resolventen-Lösung ebenso zu den richtigen Lösungen und kann damit einzig eine Umnummerierung der Lösungen bewirken.

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Cohomology Operations and Obstructions to Extending Continuous Functions by Norman Earl Steenrod


by Brian
4.1

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