Download Algebra and Trigonometry by Marvin Marcus, Henryk Minc PDF

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1 Der Hauptsatz fiber endliche abelsche Gruppen Definitionen. Eine abelsche Gruppe heiBt monogen oder zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird. Es seien AI, . , Ar Untergruppen einer abelschen Gruppe A; sie heiBt direkte Summe oder auch direktes Produkt der Untergruppen Ai, falls jedes Element a von A genau eine Darstellung der Form besitzt r a = Lai, ai E Ai (1:::; i :::; r) . i=l Dieser Sachverhalt wird symbolisiert durch die Notation A = EB:=l Ai. Ais Annihilator der Untergruppe B von A wird die Menge der ganzen Zahlen k bezeichnet, ftir die x .

Aufgrund der Definition von Q ist daher Ql (A) nicht Null. Andererseits zeigt sich bei Anwendung von 'l/JA die Gleichung DL:(V) = (A - Aid) Ql (A) . Folglich existiert ein Vektor x =I- 0 in V mit Ax = AX; somit ist A ein Eigenwert von A. 1st indes p, E K ein Eigenwert von A, ist also der Rang von (A - p, id) kleiner als dim V, dann ergibt Q = L;;;=o bmxm durch Einsetzen X H A die Relation M -Q(p,) id = Q(A) - Q(p,) id L bm(Am - p,m id) = (A - p, id)B m=l mit einem weiteren B in LeV). Wegen rg (A - p, id) < dim V ist auch 0 rgQ(p,) id < dim V.

In diesem Spezialfall ist r = IFp-dim(A). 2) Generell definiert jede Primzahl p einen Homomorphismus von A in A durch Vielfachenbildung x H x . p. So entsteht eine absteigende Folge von Untergruppen von A. Nun hat A nur endlich viele Elemente, daher wird die Inklusion von einer Stelle an zur Gleichheit. Was besagt die Gleichung pB = B in einer endlichen abelschen Gruppe B? Sie bedeutet, daB der Homomorphismus x H x . p surjektiv oder, was hier dasselbe heiBt, daB er injektiv ist. Die Gleichung pB = B besagt mithin, daB B kein Element der Ordnung p enthalt.