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By Christian Karpfinger

ISBN-10: 3827420180

ISBN-13: 9783827420183

Dieses Lehrbuch zur Algebra bietet eine Einf?hrung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Es werden die Themen eines Grundkurses zur Algebra ausf?hrlich und motivierend behandelt.

Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bem?ht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisf?hrungen sind ausf?hrlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Die Kapitel sind in kleine Lerneinheiten unterteilt. Diese Lerneinheiten f?hren Schritt f?r Schritt an die Ergebnisse heran und k?nnen durch diese Darstellung vom Leser besser nachvollzogen werden. Die Autoren haben stets darauf geachtet, dass erst dann neue Begriffe und Konzepte eingef?hrt werden, wenn ein gewisses Vertrauen im Umgang mit den bis dahin entwickelten Begriffen und Konzepten besteht. Das Vorgehen wird stets motiviert, schwierige Sachverhalte werden ausf?hrlich erkl?rt und an Beispielen erprobt. Der Leser erh?lt dadurch einen einfachen Zugang zu dem nicht ganz leichten Thema der Algebra.

Die zahlreichen Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade zum Ende der Kapitel ?berpr?fen das Gelernte und f?rdern das tiefere Verst?ndnis der Theorie. Auf der web site zum Buch stehen ausf?hrliche L?sungsvorschl?ge zu den Aufgaben bereit.

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2 Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler. Beweis: Es sei U eine Untergruppe der Gruppe G mit [G : U ] = 2. Wegen G = U ∪ b U für alle b ∈ G \ U gilt: a∈U ⇒ aU = U = U a a∈U ⇒ aU = G \ U = U a. 2 In der Diedergruppe Dn = α, β ist die Untergruppe N := β ein Normalteiler, da gilt [Dn : N ] = 2. Es gibt weitere wichtige Klassen von Normalteilern: Urbilder von Normalteilern unter Homomorphismen sind Normalteiler. Insbesondere ist jeder Kern eines Homomorphismus ein Normalteiler. Und Bilder von Normalteilern unter surjektiven Homomorphismen sind Normalteiler.

3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . . . . . . . 6 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen a U eine Partition von G.

Ak sind also tatsächlich äquivalent. 8 Jede nichtleere endliche Unterhalbgruppe U einer Gruppe ist eine Untergruppe. Beweis: Da G eine Gruppe ist, gelten in G die Kürzregeln. 6. 7. Dazu reicht es, a ∈ U ⇒ a−1 ∈ U nachzuweisen. Es sei also a ∈ U gegeben. Da U eine Halbgruppe ist, gilt an ∈ U für jedes n ∈ N. Da U endlich ist, müssen in der Folge a1 , a2 , . . , ak , . . Wiederholungen auftreten, d. , es existieren i, j ∈ N, o. E. j > i, mit ai = aj und folglich aj−i = e. Also gilt e ∈ U , und wegen aj−i = a aj−i−1 = e liegt auch a−1 = aj−i−1 in U .

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by Kenneth
4.2

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