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By Burkhard Külshammer

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2) (v) ⊆ (a1 ) ∩ . . ∩ (an ). 45 Beweis: a1 v, . . , an v ⇔ (v) ⊆ (ai ) f¨ ur i = 1, . . , n ⇔ (v) ⊆ (a1 ) ∩ . . ∩ (an ). Definition: In diesem Fall nennt man v gemeinsames Vielfaches von a1 , . . , an . Beispiel: 0 und a1 . . an sind stets gemeinsame Vielfache von a1 , . . , an . 6 Seien a1 , . . , an Elemente eines Integrit¨ atsbereiches R. (i) Ein gemeinsamer Teiler d von a1 , . . , an heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler (ggT) von a1 , . . , an , falls d durch jeden gemeinsamen Teiler von a1 , .

Eine Teilmenge S von R ist also genau dann ein unit¨arer Teilring von R, wenn gilt: (i) 0, 1 ∈ S, (ii) a, b ∈ S ⇒ a − b, ab ∈ S. Beispiel: (a) Z ⊆ Q l ⊆ IR ⊆ Cl ist eine Folge von unit¨aren Teilringen. (b) Q l +Q l i := {a + bi : a, b ∈ Q} l ist ein unit¨arer Teilring von Cl wegen (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i f¨ ur a, b, c, d ∈ Q. l Die Elemente von Q l +Q l i nennt man gaußsche Zahlen. Q l +Q l i ist K¨ orper, denn f¨ ur a, b ∈ Q l mit a + bi = 0 ist −b a − bi a 1 + 2 i∈Q l +Q l i.

B. haben Z, Q, l IR, Cl die Charakteristik 0. (iii) Sei S ein kommutativer Ring und R ein unit¨arer Teilring von S. F¨ ur s ∈ S ist dann die n n Abbildung R[X] → S, f = k=0 ak X k → f (s) := k=0 ak sk ein Homomorphismus, der Einsetzungshomomorphismus. Man nennt f (s) auch ein Polynom in s. Ist f (s) = 0, so nennt man s Nullstelle von f . 2 F¨ ur einen Ring R und eine Untergruppe (I, +) von (R, +) sind ¨aquivalent: (1) r ∈ R, x ∈ I ⇒ rx, xr ∈ I. 34 35 (2) Die Gruppe (R/I, +) wird durch folgende Multiplikation zu einem Ring: (r +I)(s+I) := rs + I f¨ ur r, s ∈ R.

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by Anthony
4.2

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