By Dietlinde Lau (auth.)
ISBN-10: 3642194427
ISBN-13: 9783642194429
Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Band 1 dieses zweibändigen Lehrbuchs liegt jetzt in korrigierter und erweiterter dritter Auflage vor und führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.
Zum Inhalt: Einführung in die Grundbegriffe der Mathematik und Vorstellung der wichtigsten Beweismethoden; Lineare Algebra und analytische Geometrie; Einführung in die Numerische Algebra
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An ) · xa1 1 · xa2 2 · . . , falls f nicht nur den Wert 0 annimmt, f (x1 , . . ,an )=1 n xa1 1 · xa2 2 · . . · xann . (Obige Formeln besagen, daß f¨ ur jedes Tupel (a1 , . . , an ) ∈ {0, 1}n die Kon” junktion“ f (a1 , . . , an ) ∧ xa1 1 ∧ . . ∧ xann bzw. xa1 1 ∧ . . ∧ xann aufgeschrieben wird. Anschließend werden dann diese Konjunktionen durch ∨ miteinander verkn¨ upft. 1 verzichtet werden (siehe dazu auch Kapitel 2). Es sei bemerkt, daß die disjunktive Normalform nur eine von vielen M¨oglichkeiten ist, s¨amtliche Booleschen Funktionen durch eine gewisse Formelstruktur zu beschreiben.
1 angegebenen Identit¨aten lassen sich Boolesche Terme vereinfachen (sogenannte algebraische Methode“). 1 k¨ onnen wir auf einen Teil der Klammern in diesem Term verzichten, wenn vereinbart wird, daß · (= ∧) st¨arker bindet als ∨: xy ∨ xz ∨ xyz ∨ y ∨ z. ) (x ∨ y)(x ∨ z) = (xx ∨ xz ∨ yx ∨ yz) = (x ∨ yz) = x(y ∨ z) = xy ∨ x z. ) ((x ∨ x) ∧ y) ∨ y = (1 ∧ y) ∨ y = 1. Definition Ein Boolescher Term heißt Tautologie (oder allgemeing¨ ultiger Ausdruck), wenn er zu 1 ¨ aquivalent ist. , jede Tautologie ist das Schema einer Schar von Aussagen, die auf Grund ihrer logisch sprachlichen Struktur, also unabh¨ angig vom konkreten Inhalt, wahr sind.
Die Verkettung von Relationen ✷ : P(A) −→ P(A), (R, Q) → R✷Q ist eine innere Verkn¨ upfung auf der Menge P(A). Definition Seien A und K nichtleere Mengen. Eine ¨ außere Verkn¨ upfung auf A mit dem Skalarbereich K ist eine Abbildung ∧K : K × A −→ A, (k, a) → k ∧K a. Beispiel Sei A = R × R und K = R. Die Abbildung ∧K : R × R2 −→ R2 , (k, (x, y)) → (k · x, k · y) (· bezeichnet die u ¨bliche Multiplikation von reellen Zahlen) ist eine ¨außere Verkn¨ upfung auf R2 mit dem Skalarbereich R. ¨ Definitionen Seien A und K nichtleere Mengen, R eine Aquivalenzrelation auf A, ◦ eine innere und ∧K eine ¨ außere Verkn¨ upfung auf A.
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