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By Henri Lombardi, Claude Quitté

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Or dans C, f et g sont primitifs, donc le point 1. implique que C est trivial. 2. et 1. (cas général) On voit que 2. se démontre par récurrence sur le nombre de variables à partir du cas univarié, puisque par exemple pour f ∈ A[X][Y ] on a l’égalité cA,X,Y (f ) = cA,X (h) | h ∈ cA[X],Y (f ) . Ensuite on en déduit le point 1. 3. On note que f 2 = 0 implique c(f )p = 0 pour un certain p d’après le point 2. 4. La condition est suffisante : dans un anneau si x est nilpotent, 1 − x est inversible parce que (1 − x)(1 + x + · · · + xn ) = 1 − xn+1 , donc si u est inversible et x nilpotent, u + x est inversible.

Critères d’injectivité et de surjectivité . . . . . . Caractérisation des applications localement simples . . . Trace, norme, discriminant, transitivité . . . . . . 6 Principe local-global de base pour les modules . . Complexes et suites exactes . . . . . . . . . Localisation et suites exactes . . . . . . . . . Principe local-global pour les suites exactes de modules . Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . Solutions d’exercices . . .

Soit M un A-module. Une application k-linéaire alternée ϕ : M k → P est une puissance extérieure k-ième du A-module M si toute application k-linéaire alternée ψ : M k → R s’écrit de manière unique sous la forme ψ = θ ◦ ϕ, où θ est une application A-linéaire de P vers R. M k uu uuuψ uuu ϕ uuu  • • • • • /% R P θ!

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by Steven
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