By Ingo Janiszczak
ISBN-10: 3322841766
ISBN-13: 9783322841766
ISBN-10: 3528052775
ISBN-13: 9783528052775
In den Wirtschaftswissenschaften werden oft praktische Probleme mit Hilfe von mathematischen Modellen analysiert, die aus Systemen von linearen Gleichungen oder Ungleichungen bestehen. Da in der Praxis Systeme mit einer groBen Anzahl von Unbekannten und vielen linearen Gleichungen auftreten, die nicht von Hand, sondem mit Hilfe von Computem gelost werden, wird im vorliegenden Buch der mathematische Stoff der linearen Algebra und linearen Optimierung vom algorith mischen Standpunkt aus behandelt. Um das Verstiindnis fiir die Implementatio nen der behandelten Algorithmen zu fordem, wird jedes wichtige Rechenverfahren in shape von FluBdiagrammen dargestellt, in denen der logische Ablauf und das Zusammenwirken der verwendeten Unterprozeduren schematisch beschrieben sind. Diese FluBdiagramme konnen zur direkten Ubertragung der behandelten Algorith males in ein Computerprogramm in einer hoheren Programmiersprache (z.B. Pascal, C, Fortran) benutzt werden. Sie konnen aber auch in die Syntax von machine algebrasystemen wie MATHEMATICA oder MAPLE iibersetzt werden, die den Studenten und Universitiitsangehorigen heute schon an vielen Hochschulen iiber Campus-Lizenzen fiir wenig Geld zur Verfiigung stehen. Diese Computeralgebra systeme haben den Vorzug, daB sie u. a. iiber iiuBerst leistungsfahige Arithmetiken fiir das Rechnen mit ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen verfiigen. Zusiitzlich ist guy bei ihnen auch in der Lage, interaktiv und symbolisch zu rech nen.
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Rang von Matrizen In diesem Abschnitt werden einige grundlegende Ergebnisse iiber den Rang einer Matrix sowie Kriterien fiir die Invertierbarkeit von Matrizen behandelt. Beisoiel: Zur Produktion einer Tonne eines Endprodukts PI werden 3 t des Rohstoffes R I , 2 t des Rohstoffes R2 und 7 t des Rohstoffes R3 benotigt. Die entsprechenden Zahlen fiir ein zweites Endprodukt P2 sind 4, 5 und 6. Diese Information wird in der folgenden Tabelle zusannnengefaflt: Rl 3 4 PI P2 Zu ihr gehort die Matrix A = (!
U r linear abhiingig sind. Beweis: Wenn V = UI'AI + .. ,+Ur'Ar, dannist 0 = v·(-l)+UI·AI + .. ,+Ur'Ar, und nicht alle Koeffizienten sind gleich O. Also sind v, U}, . . , U r linear abhiingig. Wenn umgekehrt 0 = V • I' + UI . Al + ... + U r • Ar und nicht alle Koeffizienten gleich o sind, dann ist I' ~ 0, denn sonst waren UI, ... , Ur linear abhiingig. Daher ist V = UI . (-Ad 1') + ... + Ur . (-A r / 1') eine Linearkombination der Vektoren Uj. 6: Sei U ein Unterraum von F". Dann gilt: (a) U hat eine Basis.
9. Matrizen Eingabe: A = (a i j) matmul [A, B) : , B = (b i j ) 1 mi, ni Spalten- bzw. Zeilenlange von A = 1 m2, n2 Spalten- bzw. Zeilenlange von B = 1 ai bi ,ami Zeilenvektoren von A ,··· ,b n2 Spaltenvektoren von B , ... ja Definition der mi x n2-1atrix C = (Cij) 1 B O 1 r _ mi ? ja B O 8 _ ? ja Crs = 8klprod [a r , bs ] 1 8 = 8+1 26 ---t ~ 9. 2: t x s-Matrix. Dann gilt: (A· B)· C = A· (B· C). Beweis: Nach der Definition des Produktes zweier Matrizen gilt: A· B = (aij)' (bjk) Cf: = j=l aij . bjk) t (l: bjk · CkP) k=l t n (A·B)·C n (l: aij .
Lineare Algebra für Wirtschaftsinformatiker: Ein algorithmen-orientiertes Lehrbuch mit Lernsoftware by Ingo Janiszczak
by Anthony
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