Download Lineare Algebra I by Prof. Dr. Eberhard Oeljeklaus, Prof. Dr. Reinhold Remmert PDF

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1st 1': R->S ein Ringhomomorphismus, so ist Imy ein Unterring von S (vgl. 3). Hingegen ist Ker y= {aER; y(a)=O} zwar eine Untergruppe von (R, +), aber kein Unterring von R (vgl. hierzu aber Kap. 1). 1st R' ein Unterring von R, so ist die natiirliche Injektion I: R' -> Rein Ringhomomorphismus. § 4. Ringe und Karper 45 Der Leser maehe sieh klar, daB der Ring lL der ganzen Zahlen keine Unterringe R'=I=lL enthaIt. Hingegen ist lL ein Unterring von

Ersichtlieh hat man = n p(cr(j))-p(cr(i)) cr(j)-cr(i) i

In der Literatur wird sie oft als die "abelsch gemachte Gruppe G" bezeichnet. Bemerkung. 1st G abelsch, so existiert flir jede Untergruppe U von G die Restklassengruppe G/U, sie ist wieder abelsch. So hat man z. B. flir G: = 7L und U: = n7L, nEN, die Gruppen 7L/n 7L. Man mache sich klar, daB 7L/n 7L genau n Elemente (= Restklassen) hat, die durch 0,1, ... , n-1E7L reprasentiert werden konnen. 1st G eine beliebige Gruppe und U = G, so besteht G/U nur aus dem neutralen Element. Flir U = {e} ist G/U kanonisch zu G isomorph, denn jede Aquivalenzklasse x= xU besteht aus dem einen Element x; d.