Download Lineare Algebra II (FS 2001) by Karin Baur PDF

Show description

Xn ). Dass ϕ(Pi (x), Pi (x)) = 0 ist (f¨ ur jedes i) folgt daraus, dass ϕ positiv definit ist. Es bleibt zu zeigen, dass jedes Pn (x) orthogonal ist zu 1, x, x2 , . . h. man muss zeigen, dass ϕ(xk , Pn (x)) = 0 gilt f¨ ur jedes n und jedes k < n. Dazu zeigt man 1 dn xk n (x2 − 1)n dx = 0 dx −1 Einmalige partielle Integration liefert 1 xk −1 dn 2 (x − 1)n dx dxn = xk dn−1 2 (x − 1)n |1−1 dxn−1 1 −k xk−1 −1 dn−1 2 (x − 1)n dx dxn−1 Der erste Summand verschwindet, denn nach (n − 1)-facher Differentiation von (x2 − 1)n erh¨ alt man eine Summe von Polynomen, von denen jedes den Faktor (x2 −1) noch mindestens einmal enth¨alt.

Hermitesch ist. =⇒ Sei umgekehrt f selbstadjungiert. Wir betrachten den unit¨aren Fall und benutzen Induktion u ussen zeigen, dass f mit einer ONB ¨ber n := dim V . Wir m¨ rell diagonalisierbar. 51 hat f nur reelle Eigenwerte. Die Induktionsverankerung n = 1 ist trivial. Dann sei also n ≥ 2. Sei λ ∈ spec(f ). 51 ist λ ∈ R. Wir k¨onnen einen Eigenvektor v zu diesem Eigenwert λ so w¨ ahlen, dass v = 1 gilt (geeignete Streckung). Sei U das orthogonale Komplement vom Spann span(v) von v. Der wichtige Punkt hier ist, dass U f -invariant ist7 .

Wir studieren hier periodische Funktionen. 6. FOURIER-KOEFFIZIENTEN ur f : R → R heisst T -periodisch (mit T > 0), wenn gilt f (x + T ) = f (x) f¨ alle x ∈ R. Nat¨ urlich wird eine T -periodische Funktion durch ihre Werte auf dem Intervall [0, T ) eindeutig bestimmt. Jede T -periodische Funktion f kann sehr einfach in eine 2π-periodische Funktion umgewandelt werden. Man setzt einfach f˜(x) := f (T x/2π). Daher reicht es aus, 2π-periodische Funktionen zu betrachten (modulo dieser einfachen Transformation).