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By Prof. Dr. rer. nat. Hermann Schaal, Dr. rer. nat. Ekkehart Glässner (auth.)

ISBN-10: 3322831930

ISBN-13: 9783322831934

ISBN-10: 352813058X

ISBN-13: 9783528130589

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Dim V ~ 2). Bier ist Dim U = Dim U' = 1. FUr die Summe U + U' = lAG + ~b I A,~ E K\ = V gilt Dim(U+U') = 2 und fUr den Durchschnitt unu' = 10\ ist Dim(Unu') = O. Die Dimensionsformel lautet dann 1 + 1 2 + 0 Es ist noch zu bemerken, daB in diesem Fall wegen unu' = 10\ speziell gilt. u + U' U E9 U' b) Die Dimensionen der beiden gegebenen UVR sind jeweils 2. u. sind. Der Durchschnitt unu' folgt aus dem Ansatz A(I,O,O) +~(0,1,0) = A'(I,I,O) + ~'(0,0,1) zu U n u' IA(I,I,O) I AEK\ mit Dimension I, und die Formel lautet 2 + 2 3 + 1 .

Die Dimension von U ist daher 3. u. sind. u. Vektoren m1,m2 eine Basis von W und es gilt Dim W = 2. : Da U+W C [01, ••• ,04 J ist die Dimension von U+W sieher ~ 4. a. u. u. sind, nimmt man zu I I diesen ~I oder ~2 hinzu. Naeh 4) gilt ~I = 2uI - 2 u2 + 2 u3· Daher mu2 nur UI'U2'U3'~2 auf lineare Unabh~ngigkeit untersueht werden. uI,u2,u3'~21 bilden also eine Basis von U+W und es ist Dim(U+W) = 4. ~ FUr die Dimensionen gilt die Formel: hier Dim(U+W) + Dim(UnW) Dim U + Dim W 3 2 + also Dim(UnW) 4 + I I.

3. b1,b21, die den Basisvektoren des y3 die Yektoren ~ ~(G1) = (2,2), ~(G2) a (1,2), ~(G3) = (4,4) zuordnet. a) Welchen Rang hat ~? b) Welche Dimen$ion hat der Kern von ~? Geben Sie den Kernraum explizit an. c) Geben Sie die Bilder der Yektoren I1,I2 E Y3 fur I1 = (3,1,0) u~d I2 = (6,2,1) an. Welche Dimension hat der von ~(I1) und ~(I2) aufgespannte Bildraum? LOsung: a) Der ~~~~ einer linearen Abbildung ~ ist die Dimension des Bildraumes. Da ~ eine Abbildung eines Yektorraumes y3 in einen Yektorraum W2 ist, gilt Rang ~ = Dim ~(y3) ~ Dim W2 = 2.

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by Daniel
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