Download Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen by Rudolf Berghammer PDF

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5 Definition Ist ein Unterverband U eines Booleschen Verbands V auch abgeschlossen bez¨ uglich der Operation von V , so heißt er ein Boolescher Unterverband oder eine Boolesche Unteralgebra von V . ✷ Man beachte, daß die Elemente O und L eines Booleschen Verbands V in jedem Booleschen Unterverband U von V enthalten sind, da mit a ∈ U auch a ∈ U zutrifft und somit auch O = a a ∈ U und L = a a ∈ U. Im Fall von Booleschen Verb¨anden muß man also zwischen einem Unterverband im urspr¨ unglichem Sinne (der nicht auf das Komplement Bezug nimmt) und einem Booleschen Unterverband genau unterscheiden.

Analog zeigt man auch die anderen Gesetze. ✷ Wir betrachten nun die Ordnungsbeziehung zwischen zwei Abbildungen f, g : V → W eines Abbildungsverbands. Offensichtlich gilt f g ⇐⇒ ∀ a ∈ V : f (a) W g(a). Eine so definierte Ordnung auf Abbildungen wird Abbildungsordnung genannt. Dieser Name ist in der Ordnungstheorie auch f¨ ur die relationale Struktur (W V , ) u ¨blich. Leider gibt es keine einfache zeichnerische M¨oglichkeit, aus einem Hasse-Diagramm der Bildmenge das Hasse-Diagramm der Ordnung eines Abbildungsverbands zu erhalten.

Somit gibt es genau n! Ketten der Kardinalit¨at n + 1. 3 Komplemente und Boolesche Verb¨ande 49 Das n¨achste Beispiel ist von einer ¨ahnlichen Schwierigkeit. Bei endlichen algebraischen Strukturen ist man oft daran interessiert, wie groß Unterstrukturen sind und f¨ ur welche Gr¨oßen sie existieren. -L. L. Sylow). Bei Booleschen Verb¨anden sind solche Fragen genau zu entscheiden. 11 Satz In einem endlichen Booleschen Verband V mit 2n Elementen hat jeder Boolesche Unterverband die Gr¨oße 2k , wobei 1 ≤ k ≤ n, und f¨ ur jedes k mit 1 ≤ k ≤ n, existiert ein Boolescher Unterverband von V mit 2k Elementen.