By Armin Leutbecher (auth.)
ISBN-10: 3540587918
ISBN-13: 9783540587910
ISBN-10: 3642614051
ISBN-13: 9783642614057
Auf der Grundlage der Mathematikkenntnisse des ersten Studienjahres bietet der Autor eine Einführung in die Zahlentheorie mit Schwerpunkt auf der elementaren und algebraischen Zahlentheorie. Da er die benötigten algebraischen Hilfsmittel nicht voraussetzt, sondern everlasting mitentwickelt, wendet sich das Buch auch an Nichtspezialisten, denen es über die Zahlen frühzeitig den Weg in die Algebra öffnet. Angestrebte Ziele sind: Der Satz von Kronecker-Weber zur Krönung der Galois-Theorie, der Minkowskische Gitterpunktsatz, der Dirichletsche Primzahlsatz und die Bewertungstheorie der Körper. Ein umfangreicher Aufgabenteil mit Anleitungen bietet neben konkreten Beispielen und alternativen Beweisgängen vielfältige Rechenpraxis und Hinweise auf algorithmische Lösungswege.
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1 Der Hauptsatz fiber endliche abelsche Gruppen Definitionen. Eine abelsche Gruppe heiBt monogen oder zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird. Es seien AI, . , Ar Untergruppen einer abelschen Gruppe A; sie heiBt direkte Summe oder auch direktes Produkt der Untergruppen Ai, falls jedes Element a von A genau eine Darstellung der Form besitzt r a = Lai, ai E Ai (1:::; i :::; r) . i=l Dieser Sachverhalt wird symbolisiert durch die Notation A = EB:=l Ai. Ais Annihilator der Untergruppe B von A wird die Menge der ganzen Zahlen k bezeichnet, ftir die x .
Aufgrund der Definition von Q ist daher Ql (A) nicht Null. Andererseits zeigt sich bei Anwendung von 'l/JA die Gleichung DL:(V) = (A - Aid) Ql (A) . Folglich existiert ein Vektor x =I- 0 in V mit Ax = AX; somit ist A ein Eigenwert von A. 1st indes p, E K ein Eigenwert von A, ist also der Rang von (A - p, id) kleiner als dim V, dann ergibt Q = L;;;=o bmxm durch Einsetzen X H A die Relation M -Q(p,) id = Q(A) - Q(p,) id L bm(Am - p,m id) = (A - p, id)B m=l mit einem weiteren B in LeV). Wegen rg (A - p, id) < dim V ist auch 0 rgQ(p,) id < dim V.
In diesem Spezialfall ist r = IFp-dim(A). 2) Generell definiert jede Primzahl p einen Homomorphismus von A in A durch Vielfachenbildung x H x . p. So entsteht eine absteigende Folge von Untergruppen von A. Nun hat A nur endlich viele Elemente, daher wird die Inklusion von einer Stelle an zur Gleichheit. Was besagt die Gleichung pB = B in einer endlichen abelschen Gruppe B? Sie bedeutet, daB der Homomorphismus x H x . p surjektiv oder, was hier dasselbe heiBt, daB er injektiv ist. Die Gleichung pB = B besagt mithin, daB B kein Element der Ordnung p enthalt.
Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra by Armin Leutbecher (auth.)
by Jason
4.1